Question

（2012•姜堰市模擬）若函數(shù)f（x）=x|x-2m|（m＞0）在區(qū)間[0，1]上的最大值為m²，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍為

[

2

-1，1]

．

Answer 1

分析：將函數(shù)化簡(jiǎn)成分段函數(shù)的形式，再討論它的單調(diào)性，可得函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最大值可能是f（m）或f（1），由此結(jié)合題意建立關(guān)于m的不等式組，解之可得正實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：函數(shù)f（x）=x|x-2m|=

x2-2mx   x＞2m 2mx-x 2    x≤2m

當(dāng)0≤x≤2m時(shí)，函數(shù)f（x）圖象對(duì)應(yīng)開(kāi)口向下的拋物線，最大值為f（m）=m²
當(dāng)x＞2m時(shí)，函數(shù)f（x）圖象對(duì)應(yīng)開(kāi)口向上的拋物線，在區(qū)間（2m，+∞）上是增函數(shù)
∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，函數(shù)的最大值為m²，
說(shuō)明

m≤1 f(1)≤m2

，即

m≤1 |1-2m|≤m2

，解之得

2

-1≤m≤1
故答案為：[

2

-1，1]

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有絕對(duì)值的函數(shù)，討論了函數(shù)的最大值，著重考查了分段函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的知識(shí)，屬于中檔題．