10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,E,F(xiàn)分別是PD,PC上的點(diǎn),且EF∥平面ABCD.
(1)求證:EF∥平面PAB;
(2)若三棱錐F-BCD與四棱錐P-ABCD的體積比為λ(0<λ<$\frac{1}{2}$),點(diǎn)G是線段BC上的一點(diǎn),且平面EFG∥平面PAB,求$\frac{BG}{BC}$的值.

分析 (1)由已知及線面平行的性質(zhì)可證EF∥CD,結(jié)合CD∥AB,可證EF∥AB,進(jìn)而判定EF∥平面PAB.
(2)設(shè)三棱錐F-BCD的高為h1,體積為V1,四棱錐P-ABCD的高為h,體積為V,利用三棱錐體積公式,三角形面積公式可求$\frac{CF}{PC}=2λ$,利用面面平行的性質(zhì)可證FG∥PB,利用平行線分線段成比例的性質(zhì)可求$\frac{CG}{BC}=\frac{CF}{PC}=2λ$,進(jìn)而得解$\frac{BG}{BC}$的值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)∵EF∥平面ABCD,平面ABCD∩平面EFCD=CD,
∴EF∥CD,…2分
又四邊形ABCD是平行四邊形,
∴CD∥AB,
∴EF∥AB,…..5分
∵AB?平面PAB,EF?平面PAB,
∴EF∥平面PAB.…..6分
(2)設(shè)三棱錐F-BCD的高為h1,體積為V1,四棱錐P-ABCD的高為h,體積為V,
則$\frac{V_1}{V}=\frac{{\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•{h_1}}}{{\frac{1}{3}{S_{△ABCD}}•h}}=\frac{1}{2}•\frac{h_1}{h}=\frac{1}{2}\frac{CF}{PC}=λ$.
∴$\frac{CF}{PC}=2λ$.…8分
∵平面EFG∥平面PAB,平面EFG∩平面PBC=FG,平面PAB∩平面PBC=PB,
∴FG∥PB,…..10分
∴$\frac{CG}{BC}=\frac{CF}{PC}=2λ$,
∴$\frac{BG}{BC}=1-2λ$.…12分

點(diǎn)評 本題主要考查了線面平行的性質(zhì)和判定,三棱錐體積公式,三角形面積公式,面面平行的性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了空間想象能力和推理論證能力,屬于中檔題.

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甲組乙組合計(jì)
男生76
女生512
合計(jì)
(1)試問有沒有90%的把握認(rèn)為成績分在甲組或乙組與性別有關(guān);
(2)①如果用分層抽樣的方法從甲組和乙組中抽取5人,再從5人中隨機(jī)抽取2人,那么至少有1人在甲組的概率是多少?
②用樣本估計(jì)總體,把頻率作為概率,若從該地區(qū)所有的中學(xué)(人數(shù)很多)中隨機(jī)抽取3人,用ξ表示所選3人中甲組的人數(shù),試寫出ξ的分布列,并求出ξ的數(shù)學(xué)期望.K2=$\frac{{n{{({ad-bc})}^2}}}{{({a+b})({a+d})({a+c})({b+d})}}$,其中n=a+b+c+d
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表:
P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001
k2.7063.8416.63510.828

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