Question

5．長方體有三個面的面積分別是12，15，20，且長方體的8 個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是50π．

Answer 1

分析 根據題意可得長方體的三條棱長，再結合題意與有關知識可得外接球的直徑就是長方體的對角線，求出長方體的對角線，即可得到球的直徑，進而根據球的表面積公式求出球的表面積．

解答 解：因為長方體相鄰的三個面的面積分別是12，15，20，
∴長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3，4，5，
又因為長方體的8個頂點都在同一個球面上，
所以長方體的對角線就是圓的直徑，
因為長方體的體對角線的長是：$\sqrt{9+16+25}$=5$\sqrt{2}$，
球的半徑是：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
這個球的表面積：4$π•（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}$=50π
故答案為50π．

點評 解決此類問題的關鍵是熟練掌握常用幾何體的結構特征，以及球的內接多面體的有關知識，球的表面積公式，而解決此題的關鍵是知道球的直徑與長方體的體對角線，考查計算能力，空間想象能力，此題屬于基礎題．