Question

3．已知正數(shù)a，b的等比中項是2，且m=b+$\frac{1}{a}$，n=a+$\frac{1}$，則m+n的最小值是5．

Answer 1

分析 由題意：正數(shù)a，b的等比中項是2，得ab=4，m+n=b+$\frac{1}{a}$+a+$\frac{1}$，利用基本不等式求解．

解答 解：由題意：正數(shù)a，b的等比中項是2，得ab=4，
∵m=b+$\frac{1}{a}$，n=a+$\frac{1}$，
∴m+n=b+$\frac{1}{a}$+a+$\frac{1}$．
由ab=4，那么b=$\frac{4}{a}$
∴b+$\frac{1}{a}$+a+$\frac{1}$=$\frac{4}{a}+\frac{1}{a}+a+\frac{a}{4}=\frac{5a}{4}+\frac{5}{a}≥2\sqrt{\frac{5a}{4}•\frac{5}{a}}=5$，當且僅當a=2時取等號．
所以m+n的最小值是5．
故答案為：5．

點評 本題考查了“消元法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．