Question

8．函數(shù)$y={log_{\frac{1}{3}}}（{sinx-cosx}）$的單調(diào)遞增區(qū)間是（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$），k∈Z．

Answer 1

分析 令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）＞0，求得函數(shù)的定義域．根據(jù)函數(shù)即 y=${log}_{\frac{1}{3}}t$，故本題即求函數(shù)t的減區(qū)間．再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)t的減區(qū)間．

解答 解：令t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）＞0，可得2kπ＜x-$\frac{π}{4}$＜2kπ+π，k∈Z，
求得2kπ+$\frac{π}{4}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2kπ+$\frac{π}{4}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$}．
再根據(jù)函數(shù)即 y=${log}_{\frac{1}{3}}t$，故本題即求函數(shù)t的減區(qū)間．
令2kπ+$\frac{π}{2}$＜x-$\frac{π}{4}$＜2kπ+π，求得2kπ+$\frac{3π}{4}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{4}$，
故函數(shù)t的減區(qū)間為（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$ ），
故答案為：（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$ ），k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．