Question

已知球O的直徑為4，P，A，B，C為球面上四個(gè)點(diǎn)，P-ABC為正三棱錐，PA，PB，PC與平面ABC所成角均為60°則棱錐P-ABC體積為（　�。�

• A、

  3 3

  4

• B、

  9 3

  4

• C、

  3 3

  2

• D、

  27 3

  4

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥平面ABC于H，AH是PA在平面ABC內(nèi)的射影，從而∠PAH=60°，設(shè)正三棱錐P-ABC外接球的球心為O，OA=OB=OC=2，設(shè)PA=PB=PC=a，則AH=

1

2

a，PH=

3

2

a，由勾股定理得a=2

3

，設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為x，則

2

3

×

x2- 1 4 x2

=AH=

1

2

a=

3

，解得x=3，由此能求出棱錐P-ABC體積．

解答： 解：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥平面ABC于H，
∵AH是PA在平面ABC內(nèi)的射影
∴∠PAH是直線PA與底面ABC所成的角，
∵P-ABC為正三棱錐，PA，PB，PC與平面ABC所成角均為60°，
∴∠PAH=60°，
設(shè)正三棱錐P-ABC外接球的球心為O，
∵PA=PB=PC，∴P在平面ABC內(nèi)的射影H是△ABC的外心
由此可得，外接球心O必定在PH上，連接OA、OB、OC
∵球O的直徑為4，∴OA=OB=OC=2，
設(shè)PA=PB=PC=a，∵∠PAH=60°，∴AH=

1

2

a，PH=

3

2

a，
在Rt△AHO中，AO²=OH²+AH²，
∴4=(

3

2

a-2)2+

1

4

a2，解得a=2

3

，∴PH=

3

2

×2

3

=3，
設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為x，則

2

3

×

x2- 1 4 x2

=AH=

1

2

a=

3

，解得x=3，
∴棱錐P-ABC體積V=

1

3

×S△ABC×PH=

1

3

×

1

2

×3×3×sin60°×3=

9 3

4

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運(yùn)用，注意球和正三棱錐的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．