Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}sin（{x+α}），（{x≤0}）\\ cos（{x-β}），（{x＞0}）\end{array}$是偶函數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（　�。�

• A． $α=\frac{π}{4}，β=\frac{π}{8}$
• B． $α=\frac{2π}{3}，β=\frac{π}{6}$
• C． $α=\frac{π}{3}，β=\frac{π}{6}$
• D． $α=\frac{5π}{6}，β=\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得sin（x+α）=cos（-x-β），進而利用三角函數(shù)的和差公式化簡可得sinxcosα+cosxsinα=cosxcosβ-sinxsinβ，分析可得sinα=cosβ，cosα=-sinβ，由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式分析可得α=β+$\frac{π}{2}$，分析選項即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)x＞0，則-x＜0，
則有f（x）=sin（x+α），f（-x）=cos（-x-β），
又由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則有sin（x+α）=cos（-x-β），
變形可得：sin（x+α）=cos（x+β），
即sinxcosα+cosxsinα=cosxcosβ-sinxsinβ，
必有：sinα=cosβ，cosα=-sinβ，
分析可得：α=β+$\frac{π}{2}$，
分析選項只有B滿足α=β+$\frac{π}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，涉及三角函數(shù)和差公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于α、β的三角恒等式．