Question

11．某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；
（Ⅱ）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？

P（Х2≥k）	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

附：Х²=$\frac{{n{{（{n_{11}}{n_{22}}-{n_{12}}{n_{21}}）}^2}}}{{{n_{1+}}{n_{2+}}{n_{+1}}{n_{+2}}}}$
（注：此公式也可以寫成K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)分層抽樣原理，結(jié)合頻率分布直方圖，求出每組應(yīng)抽取的人數(shù)；
（2）據(jù)2×2列聯(lián)表，代入求臨界值的公式，求出觀測值，利用觀測值同臨界值表進行比較，K²≈1.786＜2.706，沒有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”．

解答 解：（Ⅰ）由已知得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名．
所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05=3（人），記為A₁，A₂，A₃；
25周歲以下組工人有40×0.05=2（人），記為B₁，B₂；
從中隨機抽取2名工人，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），
其中，至少1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種，它們是（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），
故所求的概率P=0.7．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.05=3（人），“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.05=2（人），
據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：

	生產(chǎn)能手	非生產(chǎn)能手	合計
25周歲以上組	15	45	60
25周歲以下組	15	25	40
合計	30	70	100

∴K²=$\frac{100（15×25-15×45）^{2}}{60×40×30×70}$≈1.79＜2.706，
∴沒有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”．

點評 本題考查根據(jù)頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查獨立性檢驗的概率情況，以及隨機分布的概率的計算，考查運算能力，屬于中檔題．