Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₂=1，前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=

n(an-a1)

2

．（其中n∈N*）
（1）文：求a₁；
理：求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）文：求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
理：求

lim

n→+∞

Sn

n2

；
（3）設(shè)lgbn=

an+1

3n

，問是否存在正整數(shù)p、q（其中1＜p＜q），使得b₁，b_p，b_q成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（p，q）；否則，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,極限及其運(yùn)算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)首項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證．
（2）利用（1）的結(jié)論直接求出極限．
（3）首先假設(shè)存在p和q，進(jìn)一步進(jìn)行關(guān)系驗(yàn)證求出具體的值．

解答： 解：文（1）因?yàn)?span id="qltavzw" class="MathJye">Sn=

n(an-a1)

2

，
令n=2，得a1+a2=

2(a2-a1)

2

，所以a₁=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn+1=

(n+1)(an+1-a1)

2

=

(n+1)an+1

2

an+1=Sn+1-Sn=

(n+1)an+1

2

-

nan

2

，

an+1

an

=

n

n-1

，
推得

an+1

a3

=

n

3-1

，
又a₂=1，a₃=2a₂=3，
所以a_n+1=n當(dāng)n=1，2時(shí)也成立，
所以a_n=n-1．
（2）直接利用（1）的結(jié)論：
解得：

lim

n→+∞

Sn

n2

=

1

2

（3）文理相同：假設(shè)存在正整數(shù)p、q，使得b₁，b_p、b_q成等比數(shù)列，
則lgb₁，lgb_p、lgb_q成等差數(shù)列，
故

2p

3p

=

1

3

+

q

3q

，（1）
由于右邊大于

1

3

，則

2p

3p

＞

1

3

，
即

p

3p

＞

1

6

．
考查數(shù)列{

p

3p

}的單調(diào)性，
因?yàn)?span id="gfbyhre" class="MathJye">

p+1

3p+1

-

p

3p

=

1-2p

3p+1

＜0，
所以數(shù)列{

p

3p

}為單調(diào)遞減數(shù)列．
當(dāng)p=2時(shí)，

p

3p

=

2

9

＞

1

6

，代入（1）式得

q

3q

=

1

9

，
解得q=3；當(dāng)p≥3時(shí)，

p

3p

≤

1

9

（舍）．
綜上得：滿足條件的正整數(shù)組（p，q）為（2，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，極限的應(yīng)用，存在性問題的應(yīng)用．屬于中等題型．