Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1前n項和為S_n，
（Ⅰ）若點P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直線x-y+1=0上，求數(shù)列{a_n}通項公式并求

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的和；
（Ⅱ）若點p（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直線2x-y+1=0上，求證：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1-a_n=1，且a₁=1，從而得到a_n=n．S_n=n+

n(n-1)

2

×1=

n(n+1)

2

，進而

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此能求出

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的和．
（Ⅱ）由已知得2a_n-a_n+1+1=0，從而a_n+1+1=2（a_n+1），由此能證明數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．

解答： （Ⅰ）解：∵點P（a_n，a_n+1）在直線x-y+1=0上，
∴a_n+1-a_n=1，且a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
S_n=n+

n(n-1)

2

×1=

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．
（Ⅱ）證明：∵點p（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直線2x-y+1=0上，
∴2a_n-a_n+1+1=0，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的證明，考查等比數(shù)列的證明，解題時要注意裂項求和法的合理運用．