Question

7．已知過(guò)點(diǎn)（2，4）的直線l被圓C：x²+y²-2x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為6，則直線l的方程為x-2=0或3x-4y+10=0．

Answer 1

分析 設(shè)過(guò)點(diǎn)（2，4）的直線l的方程為y=k（x-2）+4，求出圓C的圓心C（1，2），半徑r=$\sqrt{10}$，圓心C（1，2）到直線l的距離d，由此能求出直線l的方程；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=2也滿足條件．由此能求出直線l的方程．

解答 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)（2，4）的直線l的方程為y=k（x-2）+4，
圓C：x²+y²-2x-4y-5=0的圓心C（1，2），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16+20}$=$\sqrt{10}$，
圓心C（1，2）到直線l的距離d=$\frac{|k-2-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵過(guò)點(diǎn)（2，4）的直線l被圓C：x²+y²-2x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為6，
∴由勾股定理得：${r}^{2}=kguguya^{2}+（\frac{6}{2}）^{2}$，即$10=\frac{（2-k）^{2}}{{k}^{2}+1}+9$，
解得k=$\frac{3}{4}$，∴直線l的方程為y=$\frac{3}{4}$（x-2）+4，即3x-4y+10=0，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=2，
圓心C（1，2）到直線x=2的距離d=1，
滿足${r}^{2}=w8wa08a^{2}+（\frac{6}{2}）^{2}$，故x-2=0是直線l的方程．
綜上，直線l的方程為x-2=0或3x-4y+10=0．
故答案為：x-2=0或3x-4y+10=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．