Question

13．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，它的一個頂點恰好是拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點．
（I）求橢圓C標準方程；
（Ⅱ）直線x=2，與橢圓交于P，Q兩點，A，B是橢圓上位于直線x=2兩側(cè)的動點，若直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），由離心率為$\frac{1}{2}$，它的一個頂點恰好是拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C標準方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}x+t$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得x²+tx+t²-12=0，由此利用韋達定理、根的判別式、弦長公式能求出四邊形APBQ面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∵橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，它的一個頂點恰好是拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{b=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，
∴橢圓C標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}x+t$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得x²+tx+t²-12=0，
由△=t²-4（t²-12）＞0，解得-4＜t＜4，
由韋達定理得x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-12，
四邊形APBQ的面積S=$\frac{1}{2}×6×$|x₁-x₂|=3$\sqrt{48-3{t}^{2}}$，
當t=0時，四邊形APBQ面積的最大值S_max=12$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、根的判別式、弦長公式、橢圓性質(zhì)的合理運用．