Question

4．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線3x²-5y²=75的左焦點和右焦點，P是雙曲線上的一點，且∠F₁PF₂=60°，求三角形F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 化雙曲線方程為標準方程，求出a²，b²的值，進一步求得c，在焦點三角形F₁PF₂中，由余弦定理與雙曲線定義求得PF₁•PF₂，然后代入三角形面積公式求得答案．

解答 解：由雙曲線3x²-5y²=75，得$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{15}=1$，
∴a²=25，b²=15，則$c=\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$．
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得160=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°=（PF₁-PF₂）²+PF₁•PF₂=100+PF₁•PF₂，
∴PF₁•PF₂=60．
則${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}=\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°=$\frac{1}{2}×60×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查雙曲線的簡單性質，考查焦點三角形中余弦定理與雙曲線定義的應用，屬于基礎題．