【題目】已知橢圓的離心率為，分別為的左、右頂點，是上異于的動點，面積的最大值為2.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明：直線與直線的斜率乘積為定值；

（3）設直線，分別交直線于兩點，以為直徑作圓，當圓的面積最小時，求該圓的方程.

【答案】（1）（2）詳見解析（3）

【解析】

（1）依題意有，解出方程即可；（2）由（1）知，，，，再利用點在曲線上得到結果;(3)根據第二問設出直線PA和PB，解出點M，N的點坐標，進而得到圓心Q的坐標，可以寫出圓的方程，由均值不等式得到最值.

（1）依題意有，解得，，

故所求橢圓方程為.

（2）由（1）知，，

設，則，

，

即直線與直線的斜率乘積為定值.

（3）設直線：，則直線：，

令得，，

∴的中點為，，

于是以為直徑的圓的方程為，

，當且僅當即時等號成立.

此時圓的方程為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的頂點在原點,過點A(-4,4)且焦點在x軸.

（1）求拋物線方程;

（2）直線l過定點B(-1,0)與該拋物線相交所得弦長為8,求直線l的方程.

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【題目】某高校在2019的自主招生考試中，考生筆試成績分布在，隨機抽取200名考生成績作為樣本研究，按照筆試成績分成5組，第1組成績?yōu)?/span>，第2組成績?yōu)?/span>，第3組成績?yōu)?/span>，第4組成績?yōu)?/span>，第5組成績?yōu)?/span>，樣本頻率分布直方圖如下：

（1）估計全體考生成績的中位數(shù)；

（2）為了能選撥出最優(yōu)秀的學生，該校決定在筆試成績高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，從這6名學生中隨機抽取2名學生進行外語交流面試，求這2名學生均來自同一組的概率．

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【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的極值點；

（2）若，恒成立，求的取值范圍.

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【題目】如果既約分數(shù)滿足：（、為正整數(shù)），則稱為“牛分數(shù)”．現(xiàn)將所有的牛分數(shù)按遞增順序排成一個數(shù)列，稱為“牛數(shù)列”．證明：對于牛數(shù)列中的任兩個相鄰項、，都滿足．

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【題目】設是一個各位數(shù)字都不是0且沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，將組成的3個數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為，按從大到小排成的三位數(shù)記為，（例如，則，）閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，任意輸入一個，輸出的結果=（ ）

A. 693 B. 594 C. 495 D. 792

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點，點為曲線上的動點，過作軸的垂線，垂足為，滿足。

（1）求曲線的方程；

（2）直線與曲線交于兩不同點,（ 非原點），過,兩點分別作曲線的切線，兩切線的交點為。設線段的中點為，若，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某大型電器企業(yè)，為了解組裝車間職工的生活情況，從中隨機抽取了名職工進行測試，得到頻數(shù)分布表如下：

日組裝個數(shù)

人數(shù)

6

12

34

30

10

8

（1）現(xiàn)從參與測試的日組裝個數(shù)少于的職工中任意選取人，求至少有人日組裝個數(shù)少于的概率；

（2）由頻數(shù)分布表可以認為，此次測試得到的日組裝個數(shù)服從正態(tài)分布，近似為這人得分的平均值（同一組數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作為代表）.

（i）若組裝車間有名職工，求日組裝個數(shù)超過的職工人數(shù)；

（ii）為鼓勵職工提高技能，企業(yè)決定對日組裝個數(shù)超過的職工日工資增加元，若在組裝車間所有職工中任意選取人，求這三人增加的日工資總額的期望.

附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近年來，共享單車在我國各城市迅猛發(fā)展，為人們的出行提供了便利，但也給城市的交通管理帶來了一些困難，為掌握共享單車在省的發(fā)展情況，某調查機構從該省抽取了5個城市，并統(tǒng)計了共享單車的指標和指標，數(shù)據如下表所示：

城市1

城市2

城市3

城市4

城市5

指標

2

4

5

6

8

指標

3

4

4

4

5

（1）試求與間的相關系數(shù)，并說明與是否具有較強的線性相關關系（若，則認為與具有較強的線性相關關系，否則認為沒有較強的線性相關關系）.

（2）建立關于的回歸方程，并預測當指標為7時，指標的估計值.

（3）若某城市的共享單車指標在區(qū)間的右側，則認為該城市共享單車數(shù)量過多，對城市的交通管理有較大的影響交通管理部門將進行治理，直至指標在區(qū)間內現(xiàn)已知省某城市共享單車的指標為13，則該城市的交通管理部門是否需要進行治理？試說明理由.

參考公式：回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計分別為

，，相關系數(shù)

參考數(shù)據：，，.

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