Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（cosωx，sin（ωx+$\frac{π}{2}$）），$\overrightarrow$=（sinωx，$\sqrt{3}$sinωx）（ω＞0），記f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的集合；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的數(shù)量積公式寫出f（x）的解析式并化簡(jiǎn)，利用周期求出ω，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的最大值和相應(yīng)的x；
（2）求出2x的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=sinωxcosωx+$\sqrt{3}$sinωxsin（ωx+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$sin2ωx．
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，∴f（x）=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$sin2x．
∴f（x）的最大值為$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，令2x=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=$\frac{π}{4}$+kπ．∴f（x）取最大值時(shí)x的集合為{x|x=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z}．
（2）∵x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，∴2x∈[0，$\frac{4π}{3}$]．
∴當(dāng)2x=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，當(dāng)2x=$\frac{4π}{3}$時(shí)，f（x）取得最小值-$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
∴f（x）的取值范圍是[-$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．