Question

6．設(shè)0≤x≤2，求函數(shù)y=9^x-2×3^x+3的最大值，并求取得最大值時x的值．

Answer 1

分析 可設(shè)3^x=t，t∈[1，9]，即有y=t²-2t+3=（t-1）²+2，對稱軸為t=1，運(yùn)用單調(diào)性即可得到所求最大值及x的值．

解答 解：函數(shù)y=9^x-2×3^x+3
=（3^x）²-2×3^x+3，
令3^x=t，由0≤x≤2知t∈[1，9]，
則y=t²-2t+3=（t-1）²+2，對稱軸為t=1，
所以，y在[1，9]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)t=9，即x=2時取到最大值，最大值為y=66．
所以，函數(shù)y=9^x-2×3^x+3的最大值為66，此時x的值為2．

點(diǎn)評 本題考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和二次函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．