如圖,四邊形PCBM是直角梯形,,∥,.又,,直線AM與直線PC所成的角為.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
解析試題分析:方法1:(1)∵,∴平面ABC,∴.5分
(2)取BC的中點N,連MN.∵,∴,∴平面ABC.作
,交AC的延長線于H,連結(jié)MH.由三垂線定理得,∴為二面角的平面角.∵直線AM與直線PC所成的角為,∴在中,.
在中,.
在中,.
在中,.
在中,∵,∴.
故二面角的余弦值為.13分
方法2:(1)∵,∴平面ABC,∴.5分
(2)在平面ABC內(nèi),過C作BC的垂線,并建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè),則.. 5分
∵,
且,∴,得,∴. 8分
設(shè)平面MAC的一個法向量為,則由得得∴. 10分
平面ABC的一個法向量為. 12分
顯然,二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為.13分
考點:二面角的平面角,線線垂直
點評:解決的關(guān)鍵是借助于空間向量法或幾何性質(zhì)法來得到證明和求解,屬于基礎(chǔ)題。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,為圓的直徑,點、在圓上,,矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直,且,.
(1)求證:平面;
(2)設(shè)的中點為,求證:平面;
(3)設(shè)平面將幾何體分成的兩個錐體的體積分別為,,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖甲,在平面四邊形ABCD中,已知,,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起,使平面ABD平面BDC(如圖乙),設(shè)點E、F分別為棱AC、AD的中點.
(1)求證:DC平面ABC;
(2)求BF與平面ABC所成角的正弦值;
(3)求二面角B-EF-A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
是雙曲線 上一點,、分別是雙曲線的左、右頂點,直線,的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)過雙曲線的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于,兩點,為坐標(biāo)原點,為雙曲線上一點,滿足,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,已知AC ⊥平面CDE, BD ∥AC , 為等邊三角形,F(xiàn)為ED邊上的中點,且,
(Ⅰ)求證:CF∥面ABE;
(Ⅱ)求證:面ABE ⊥平面BDE;
(Ⅲ)求該幾何體ABECD的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點.
(Ⅰ)求證AM//平面BDE;
(Ⅱ)求二面角A-DF-B的大;
(Ⅲ)試在線段AC上確定一點P,使得PF與BC所成的角是60°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知兩個正方形ABCD 和DCEF不在同一平面內(nèi),且平面ABCD ⊥平面DCEF,M,N分別為AB,DF的中點。
(1)求直線MN與平面ABCD所成角的正弦值;
(2)求異面直線ME與BN所成角的余弦值。
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