Question

17．已知sinα和cosα是方程x²-kx+k+1=0的兩根，且π＜α＜2π，則α+k=$\frac{3π}{2}$-1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意和韋達(dá)定理列出方程組，由平方關(guān)系化簡聯(lián)立列方程，求出k的值，最后要驗(yàn)證三角函數(shù)值的范圍，即可求k，α．

解答 解：∵sinα和cosα是方程x²-kx+k+1=0的兩根，
∴sinα+cosα=k，sinαcosα=k+1，
①平方得，1+2sinαcosα=k²，將②代入得，
k²-2k-3=0，解得k=3或-1，
當(dāng)k=3時(shí)，sinαcosα=4，這與sinαcosα＜1矛盾，故舍去，
當(dāng)k=-1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證符合條件．
∴sinα+cosα=-1，sinαcosα=0，
∵π＜α＜2π，
∴α=$\frac{3π}{2}$．
∴α+k=$\frac{3π}{2}$-1．
故答案是：$\frac{3π}{2}$-1．

點(diǎn)評 本題考查了韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系），以及平方關(guān)系的靈活應(yīng)用，主要驗(yàn)證三角函數(shù)值的范圍．