Question

7．已知$f（x）=\frac{{a{x^2}+1}}{x+1}（a∈R）$在（1，f（1））處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），則a=-1．

Answer 1

分析 首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率，然后由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程，利用切線(xiàn)經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)求出a．

解答 解：由已知f'（x）=$\frac{2ax（x+1）-（a{x}^{2}+1）}{（x+1）^{2}}=\frac{a{x}^{2}+2ax-1}{（x+1）^{2}}$，
所以切線(xiàn)的斜率k=$\frac{3a-1}{4}$，f（1）=$\frac{a+1}{2}$，所以切線(xiàn)方程為y-$\frac{a+1}{2}$=$\frac{3a-1}{4}$（x-1），
又切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），所以1-$\frac{a+1}{2}=\frac{1-3a}{4}$，解得a=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線(xiàn)方程，利用切線(xiàn)經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，求得a，