Question

9．已知實(shí)數(shù)m，n滿足2m-n=3．
（1）若|m|+|n+3|≥9，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求$|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}n}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}n}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值三角不等式可得|m|≥3，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）由條件利用絕對值三角不等式求得$|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}n}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}n}$|的最小值．

解答 解：因?yàn)?m-n=3，所以2m=n+3．
（1）|m|+|n+3|=|m|+|2m|=3|m|≥9，∴|m|≥3，∴m≤-3或m≥3．
（2）$|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}n}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}n}|=|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}（2m-3）}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}（2m-3）}|=|{m+1}|+|{m-2}|≥3$，
當(dāng)且僅當(dāng)-1≤m≤2（或-5≤n≤1）時等號成立，
所以$|{\frac{5}{3}m-\frac{1}{3}n}|+|{\frac{1}{3}m-\frac{2}{3}n}|$的最小值是3．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，式子的變形是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．