Question

17．已知橢圓4x²+y²=1及直線y=x+m．
（1）直線和橢圓有公共點，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求直線被橢圓截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）把直線y=x+m代入橢圓方程4x²+y²=1，化為：5x²+2mx+m²-1=0，直線和橢圓有公共點，可得△≥0，解得實數(shù)m的取值范圍．
（2）設(shè)交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得10x²+2$\sqrt{2}$x-1=0，利用|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）把直線y=x+m代入橢圓方程4x²+y²=1，化為：5x²+2mx+m²-1=0，
∵直線和橢圓有公共點，∴△=4m²-20（m²-1）≥0，解得$-\frac{\sqrt{5}}{2}$≤m$≤\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴實數(shù)m的取值范圍是$[-\frac{\sqrt{5}}{2}，\frac{\sqrt{5}}{2}]$．
（2）設(shè)交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得5x²+$\sqrt{2}$x-$\frac{1}{2}$=0，即10x²+2$\sqrt{2}$x-1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{5}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{10}$，
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2（\frac{2}{25}+\frac{4}{10}）}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

點評 本題考查了直線與橢圓的相交的條件、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．