Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓 上，過點(diǎn)的直線的方程為．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若直線與軸、軸分別相交于兩點(diǎn)，試求面積的最小值；

（Ⅲ）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求得橢圓C的a，b，c，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值；（Ⅱ）在直線l中，分別令x＝0，y＝0，求得A，B的坐標(biāo)，求得三角形OAB的面積，由P代入橢圓方程，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值；（Ⅲ）討論①當(dāng)x0＝0時(shí)，P（0，±1），②當(dāng)x0≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q（m，n），運(yùn)用對稱，分別求得Q的坐標(biāo)，運(yùn)用三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，即可得證．

（Ⅰ）依題意可知，，所以橢圓離心率為．

（Ⅱ）因?yàn)橹本�與軸，軸分別相交于兩點(diǎn)，所以．

令，由得，則．

令，由得，則．

所以的面積．

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓 上，所以．

所以．即，則．

所以．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積的最小值為．

（Ⅲ）①當(dāng)時(shí)，．當(dāng)直線時(shí)，易得，此時(shí)，．

因?yàn)?/span>，所以三點(diǎn)共線．同理，當(dāng)直線時(shí)，三點(diǎn)共線．

②當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，

所以整理得

解得所以點(diǎn)．

又因?yàn)?/span>，，且

．

所以 ．所以點(diǎn)三點(diǎn)共線．

綜上所述，點(diǎn)三點(diǎn)共線．