已知f(x)=xlnx-
1
2
mx2-x,x∈R.
(Ⅰ)當m=-2時,求函數(shù)f(x)的所有零點;
(Ⅱ)若f(x)有兩個極值點x1,x2,且x1<x2,求證:x1x2>e2(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的零點
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:(Ⅰ)當m=-2時,f(x)=xlnx+x2-x=x(lnx+x-1),x>0.設g(x)=lnx+x-1,x>0,利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出;
(Ⅱ)欲證x1x2>e2,需證lnx1+lnx2>2.若f(x)有兩個極值點x1,x2,即函數(shù)f′(x)有兩個零點x1,x2.又f′(x)=lnx-mx,可得m=
lnx1+lnx2
x1+x2
=
lnx2-lnx1
x2-x1
,即lnx1+lnx2=
(1+
x2
x1
)ln
x2
x1
x2
x1
-1
.又0<x1<x2,設t=
x2
x1
,則t>1.可得lnx1+lnx2=
(1+t)lnt
t-1
,t>1.要證lnx1+lnx2>2,即證:
(t+1)lnt
t-1
>2,t>1.lnt>
2(t-1)
t+1
.設函數(shù)h(t)=lnt-
2(t-1)
t+1
,t>1.利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可.
解答: 解:(Ⅰ)解:當m=-2時,f(x)=xlnx+x2-x=x(lnx+x-1),x>0.
設g(x)=lnx+x-1,x>0,則g(x)=
1
x
+1>0,于是g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).
又g(1)=0,∴g(x)有唯一零點x=1.
從而,函數(shù)f(x)有唯一零點x=1.

(Ⅱ)證明:欲證x1x2>e2,需證lnx1+lnx2>2.
若f(x)有兩個極值點x1,x2,即函數(shù)f′(x)有兩個零點.
又f′(x)=lnx-mx,∴x1,x2,是方程f′(x)=0的兩個不同實根.
于是,有
lnx1-mx1=0
lnx2-mx2=0
.解之得,m=
lnx1+lnx2
x1+x2

另一方面,lnx2-lnx1=m(x2-x1),
從而可得,
lnx2-lnx1
x2-x1
=
lnx1+lnx2
x1+x2

于是lnx1+lnx2=
(1+
x2
x1
)ln
x2
x1
x2
x1
-1

又0<x1<x2,設t=
x2
x1
,則t>1.
因此,lnx1+lnx2=
(1+t)lnt
t-1
,t>1.
要證lnx1+lnx2>2,
即證:
(t+1)lnt
t-1
>2,t>1.即:當t>1時,有l(wèi)nt>
2(t-1)
t+1

設函數(shù)h(t)=lnt-
2(t-1)
t+1
,t>1.
h(t)=
1
t
-
2(t+1)-2(t-1)
(t+1)2
=
(t-1)2
t(t+1)2
>0,
∴h(t)為(1,+∞)上的增函數(shù).注意到,h(1)=0.
因此,h(t)>h(1)>0.
于是,當t>1時,有l(wèi)nt
2(t-1)
t+1

∴l(xiāng)nx1+lnx2>2成立,即x1x2e2
點評:本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、換元法、對數(shù)的運算性質(zhì),考查了等價轉(zhuǎn)化能力,考查了分析問題與解決問題的能力,考查了數(shù)形結(jié)合思想方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1

(Ⅰ)試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明;
(Ⅱ)對任意的x∈R,不等式f(x)<a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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已知向量
e1
,
e2
是夾角為
π
3
的兩個單位向量,
a
=2
e1
+
e2
,
b
=k
e1
+2
e2
,
(1)若
a
b
,求實數(shù)k的值;
(2)若k=-3,求
a
b
的夾角θ.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知F是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的焦點,A是相應的頂點,P是y軸上的點,滿足∠FPA=α,則雙曲線的離心率的最小值為( 。
A、
1
sinα
B、
1
cosα
C、
1+sinα
1-sinα
D、
1+cosα
1-cosα

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)y=f(x)在R上有定義,對于任一給定的正數(shù)p,定義函數(shù)fp(x)=
f(x),f(x)≤p
p,f(x)>p
,則稱函數(shù)fp(x)為f(x)的“p界函數(shù)”,若給定函數(shù)f(x)=x2-2x-2,p=1,則下列結(jié)論成立的是( 。
A、fp[f(0)]=f[fp(0)]
B、fp[f(1)]=f[fp(1)]
C、fp[f(2)]=fp[fp(2)]
D、f[f(-2)]=fp[fp(-2)]

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函數(shù)f(x)=
19
i=1
|x-i|的最小值為
 

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已知a,b,c∈R,且a+b+c=2,a2+2b2+3c2=4,求a的取值范圍.

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已知函數(shù)y=loga(x+3)+2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點P,則P的坐標為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

a,b,c分別是△ABC中角A,B,C的對邊,且(sinB+sinC+sinA)(sinB+sinC-sinA)=
18
5
sinBsinC,邊b和c是關于x的方程x2-9x+25cosA=0的兩根(b>c).
(1)求角A的正弦值;
(2)求邊a,b,c的值;
(3)判斷△ABC的形狀.

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