Question

18．已知α、β都是銳角，且sinα=$\frac{12}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，則cos2β=（　�。�

• A． $\frac{3713}{4225}$
• B． $\frac{2047}{4225}$
• C． -$\frac{2047}{4225}$
• D． -$\frac{3713}{4225}$

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關系、兩角差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）-α]的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2β的值．

解答 解：∵α、β都是銳角，且sinα=$\frac{12}{13}$，
∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{5}{13}$，
∵cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴α+β為鈍角，sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{3}{5}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-$\frac{4}{5}$•$\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}•\frac{12}{13}$=$\frac{16}{65}$，
 則cos2β=2cos²β-1=-$\frac{3713}{4225}$，
故選：D．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角的余弦公式，兩角差的余弦公式的應用，屬于基礎題．