6.某公司擬投資開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品,估計(jì)能獲得10萬(wàn)元至100萬(wàn)元的投資收益,為激發(fā)開(kāi)發(fā)者的潛能,公司制定產(chǎn)品研制的獎(jiǎng)勵(lì)方案:獎(jiǎng)金y(萬(wàn)元)隨投資收益x(萬(wàn)元)的增加而增加,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%,獎(jiǎng)金封頂9萬(wàn)元,若采用以下函數(shù)模型擬合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案,則較適合的函數(shù)是( 。
A.y=$\frac{x}{20}$+2B.y=$\sqrt{x}$C.y=$\frac{x}{25}$+$\frac{5}{x}$D.y=4lgx-3

分析 由設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f(x),則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是:當(dāng)x∈[10,100]時(shí),①f(x)是增函數(shù);②f(x)≤9恒成立;③$f(x)≤\frac{x}{5}$恒成立.然后對(duì)兩個(gè)函數(shù)模型逐一分析,對(duì)三個(gè)條件全部滿足的選取,三個(gè)條件有一個(gè)不滿足則舍棄.

解答 解:設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f(x),則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是:
當(dāng)x∈[10,100]時(shí),①f(x)是增函數(shù);②f(x)≤9恒成立;③$f(x)≤\frac{x}{5}$恒成立.
①對(duì)于函數(shù)模型y=$\frac{x}{20}$+2:
當(dāng)x∈[10,100]時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(x)max=f(100)=$\frac{100}{20}$+2=5+2=7.
所以f(x)≤9恒成立.
因?yàn)楹瘮?shù)$\frac{f(x)}{x}$=$\frac{1}{20}$+$\frac{2}{x}$在[10,100]上是減函數(shù),所以[$\frac{f(x)}{x}$]max=$\frac{1}{20}+\frac{2}{10}$=$\frac{1}{4}$>$\frac{1}{5}$.
即$f(x)≤\frac{x}{5}$不恒成立.故該函數(shù)模型不符合公司要求.
②對(duì)于函數(shù)模型y=$\sqrt{x}$:
當(dāng)x∈[10,100]時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(x)max=f(100)=$\sqrt{100}$=10>9.
所以f(x)≤9不成立.故該函數(shù)模型不符合公司要求.
③于函數(shù)模型y=$\frac{x}{25}$+$\frac{5}{x}$=$\frac{1}{25}$(x+$\frac{125}{x}$):
當(dāng)x∈[10,100]時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(x)max=f(100)=$\frac{100}{25}$+$\frac{5}{100}$=4+$\frac{1}{20}$.
所以f(x)≤9恒成立.
因?yàn)楹瘮?shù)$\frac{f(x)}{x}$=$\frac{1}{25}$+$\frac{5}{{x}^{2}}$在[10,100]上是減函數(shù),所以[$\frac{f(x)}{x}$]max=$\frac{1}{25}$+$\frac{5}{100}$=$\frac{9}{100}$<$\frac{1}{5}$.
即$f(x)≤\frac{x}{5}$恒成立.故該函數(shù)模型符合公司要求.
④對(duì)于函數(shù)模型f(x)=4lgx-3:
當(dāng)x∈[10,100]時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(x)max=f(100)=4lg100-3=8-3=5.
所以f(x)≤9恒成立.
設(shè)g(x)=4lgx-3-$\frac{x}{5}$,則$g'(x)=\frac{4lge}{x}-\frac{1}{5}$.
當(dāng)x≥10時(shí),$g'(x)=\frac{4lge}{x}-\frac{1}{5}≤\frac{2lge-1}{5}=\frac{{lg{e^2}-1}}{5}<0$,
所以g(x)在[10,100]上是減函數(shù),從而g(x)≤g(10)=-1<0.
所以4lgx-3-$\frac{x}{5}$<0,即4lgx-3<$\frac{x}{5}$,所以$f(x)<\frac{x}{5}$恒成立.
故該函數(shù)模型符合公司要求.
在③和④中,③的f(x)max=4+$\frac{1}{20}$.④的最大值為(x)max=5.
則為了達(dá)到激勵(lì)的目的,應(yīng)該是收益越高,獎(jiǎng)勵(lì)的比例越高,故④比③更合適,
故選:D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用,訓(xùn)練了函數(shù)最值的求法,綜合性較強(qiáng),有一定的難度.

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