A. | y=$\frac{x}{20}$+2 | B. | y=$\sqrt{x}$ | C. | y=$\frac{x}{25}$+$\frac{5}{x}$ | D. | y=4lgx-3 |
分析 由設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f(x),則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是:當(dāng)x∈[10,100]時(shí),①f(x)是增函數(shù);②f(x)≤9恒成立;③$f(x)≤\frac{x}{5}$恒成立.然后對(duì)兩個(gè)函數(shù)模型逐一分析,對(duì)三個(gè)條件全部滿足的選取,三個(gè)條件有一個(gè)不滿足則舍棄.
解答 解:設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f(x),則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是:
當(dāng)x∈[10,100]時(shí),①f(x)是增函數(shù);②f(x)≤9恒成立;③$f(x)≤\frac{x}{5}$恒成立.
①對(duì)于函數(shù)模型y=$\frac{x}{20}$+2:
當(dāng)x∈[10,100]時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(x)max=f(100)=$\frac{100}{20}$+2=5+2=7.
所以f(x)≤9恒成立.
因?yàn)楹瘮?shù)$\frac{f(x)}{x}$=$\frac{1}{20}$+$\frac{2}{x}$在[10,100]上是減函數(shù),所以[$\frac{f(x)}{x}$]max=$\frac{1}{20}+\frac{2}{10}$=$\frac{1}{4}$>$\frac{1}{5}$.
即$f(x)≤\frac{x}{5}$不恒成立.故該函數(shù)模型不符合公司要求.
②對(duì)于函數(shù)模型y=$\sqrt{x}$:
當(dāng)x∈[10,100]時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(x)max=f(100)=$\sqrt{100}$=10>9.
所以f(x)≤9不成立.故該函數(shù)模型不符合公司要求.
③于函數(shù)模型y=$\frac{x}{25}$+$\frac{5}{x}$=$\frac{1}{25}$(x+$\frac{125}{x}$):
當(dāng)x∈[10,100]時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(x)max=f(100)=$\frac{100}{25}$+$\frac{5}{100}$=4+$\frac{1}{20}$.
所以f(x)≤9恒成立.
因?yàn)楹瘮?shù)$\frac{f(x)}{x}$=$\frac{1}{25}$+$\frac{5}{{x}^{2}}$在[10,100]上是減函數(shù),所以[$\frac{f(x)}{x}$]max=$\frac{1}{25}$+$\frac{5}{100}$=$\frac{9}{100}$<$\frac{1}{5}$.
即$f(x)≤\frac{x}{5}$恒成立.故該函數(shù)模型符合公司要求.
④對(duì)于函數(shù)模型f(x)=4lgx-3:
當(dāng)x∈[10,100]時(shí),f(x)是增函數(shù),則f(x)max=f(100)=4lg100-3=8-3=5.
所以f(x)≤9恒成立.
設(shè)g(x)=4lgx-3-$\frac{x}{5}$,則$g'(x)=\frac{4lge}{x}-\frac{1}{5}$.
當(dāng)x≥10時(shí),$g'(x)=\frac{4lge}{x}-\frac{1}{5}≤\frac{2lge-1}{5}=\frac{{lg{e^2}-1}}{5}<0$,
所以g(x)在[10,100]上是減函數(shù),從而g(x)≤g(10)=-1<0.
所以4lgx-3-$\frac{x}{5}$<0,即4lgx-3<$\frac{x}{5}$,所以$f(x)<\frac{x}{5}$恒成立.
故該函數(shù)模型符合公司要求.
在③和④中,③的f(x)max=4+$\frac{1}{20}$.④的最大值為(x)max=5.
則為了達(dá)到激勵(lì)的目的,應(yīng)該是收益越高,獎(jiǎng)勵(lì)的比例越高,故④比③更合適,
故選:D
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用,訓(xùn)練了函數(shù)最值的求法,綜合性較強(qiáng),有一定的難度.
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A. | $\frac{3713}{4225}$ | B. | $\frac{2047}{4225}$ | C. | -$\frac{2047}{4225}$ | D. | -$\frac{3713}{4225}$ |
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A. | (1,$\frac{5}{4}$] | B. | (1,$\frac{5}{4}$) | C. | [1,$\frac{5}{4}$] | D. | [0,$\frac{5}{4}$] |
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A. | 2-$\sqrt{3}$ | B. | 2$\sqrt{3}$+3 | C. | 2+$\sqrt{3}$ | D. | 2$\sqrt{3}$-3 |
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A. | (-∞,-2)∪(0,+∞) | B. | (-2,0) | C. | (-∞,0)∪(2,+∞) | D. | (0,2) |
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A. | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | D. | $\sqrt{5}$ |
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