Question

（2013•房山區(qū)二模）設(shè)m＞3，對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列{a_n}，令b_k為a₁，a₂，a₃…a_k（k≤m）中的最大值，稱數(shù)列{b_n}為{a_n}的“創(chuàng)新數(shù)列”．例如數(shù)列3，5，4，7的創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，7．考查自然數(shù)1、2…m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列{c_n}．
（Ⅰ）若m=5，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，5，5的所有數(shù)列{c_n}；
（Ⅱ）是否存在數(shù)列{c_n}的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出符合條件的創(chuàng)新數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）是否存在數(shù)列{c_n}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的數(shù)列{c_n}的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，4的所有數(shù)列{c_n}有兩，即3，4，1，2和3，4，2，1．
（II）設(shè)數(shù)列{c_n}的創(chuàng)新數(shù)列為{e_n}，因?yàn)閑_m為前m個(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè)，所以e_m=m，經(jīng)檢驗(yàn)，只有公比q=1時(shí)，數(shù)列{c_n}才有唯一的一個(gè)創(chuàng)新數(shù)列．
（III）設(shè)存在數(shù)列{c_n}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列，當(dāng)d=0時(shí)，{e_m}為常數(shù)列，滿足條件；數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為m的任意一個(gè)排列，共有

A

m-1 m-1

個(gè)數(shù)列．當(dāng)d=1時(shí)，符合條件的數(shù)列{e_m}只能是1，2，3…m，此時(shí)數(shù)列{c_n}是1，2，3…m，有1個(gè)．d≥2時(shí)，{e_m} 不存在．由此得出結(jié)論．

解答：解：（I）根據(jù)“創(chuàng)新數(shù)列”的定義，可得創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，5，5的數(shù)列{c_n}有：
3，5，1，2，4．
3，5，1，4，2．
3，5，2，1，4．
3，5，2，4，1．
3，5，4，1，2．
3，5，4，2，1．…（4分）
（II）存在數(shù)列{c_n}的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列．…（5分）
設(shè)數(shù)列{c_n}的創(chuàng)新數(shù)列為{e_n}，因?yàn)閑_m為前m個(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè)，所以e_m=m． …（6分）
若{e_m}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，因?yàn)?e_k+1≥e_k （k=1，2，3…m-1），所以q≥1．…（7分）
當(dāng)q=1時(shí)，{e_m}為常數(shù)列滿足條件，即為數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，每一項(xiàng)都等于m． …（9分）
當(dāng)q＞1時(shí)，{e_m}為增數(shù)列，符合條件的數(shù)列只能是1，2，3…m，
又1，2，3…m不滿足等比數(shù)列，綜上符合條件的創(chuàng)新數(shù)列只有一個(gè)． …（10分）
（3）設(shè)存在數(shù)列{c_n}，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列，…（11分）
設(shè)數(shù)列{c_n}的創(chuàng)新數(shù)列為{e_m}，因?yàn)閑_m為前m個(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè)，所以e_m=m．若 {e_m}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
因?yàn)?e_k+1≥e_k （k=1，2，3…m-1），所以 d≥0．且d∈N^*． …（12分）
當(dāng)d=0時(shí)，{e_m}為常數(shù)列，滿足條件，即為數(shù)列 e_m=m，
此時(shí)數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為m的任意一個(gè)排列，共有

A

m-1 m-1

個(gè)數(shù)列； …（14分）
當(dāng)d=1時(shí)，符合條件的數(shù)列{e_m}只能是1，2，3…m，此時(shí)數(shù)列{c_n}是1，2，3…m，有1個(gè)； …（15分）
當(dāng)d≥2時(shí)，∵e_m=e₁+（m-1）d≥e₁+2（m-1）=e₁+m+m-2 又 m＞3，∴m-2＞0．
∴e_m＞m 這與 e_m=m矛盾，所以此時(shí){e_m} 不存在． …（17分）
綜上滿足條件的數(shù)列{c_n}的個(gè)數(shù)為（m-1）!+1個(gè)． …（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差關(guān)系的確定，等比關(guān)系的確定，創(chuàng)新數(shù)列的定義，屬于中檔題．