Question

18．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，左頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 利用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，左頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，建立方程組，求出a，b，即可求出該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：由題意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}}\\{\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}}\end{array}\right.$，
解的b=2，a=2$\sqrt{2}$，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程和離心率的求法，屬于中檔題．