Question

19．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x，x∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式與輔助角公式化簡f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)f（x）的值域；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]⇒（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）-2sinxcosx
=cos2x-sin2x
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
x∈[0，$\frac{π}{2}$]⇒（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]⇒cos（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]⇒$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，1]．
∴函數(shù)f（x）的值域為：[-$\sqrt{2}$，1]．
（2）依題意，當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，π]，即x∈[0，$\frac{3π}{8}$]時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為：[0，$\frac{3π}{8}$]．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查倍角公式與輔助角公式的應(yīng)用及余弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，屬于中檔題．