【題目】在直角坐標(biāo)平面上，稱橫、縱坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn)．求滿足如下條件的最小正整數(shù)：每一個(gè)圓周上含有個(gè)有理點(diǎn)的圓，它的圓周上一定含有無窮多個(gè)有理點(diǎn)．

【答案】的最小值為3

【解析】

首先證明：若一個(gè)圓的圓周含有3個(gè)有理點(diǎn)，則該圓周上一定含有無窮多個(gè)有理點(diǎn)．

設(shè)平面上的圓周上含有2個(gè)有理點(diǎn)（），圓心．

由于線段的垂直平分線過圓心，則

由于（）都是有理數(shù)，因此，上述關(guān)于的二元一次方程組的解都是有理數(shù)，即是有理點(diǎn)．設(shè)有理點(diǎn)的坐標(biāo)為

其中，（）．

則

．

故點(diǎn)（）都在的圓周上，即的圓周上有無窮多個(gè)有理點(diǎn)．其次，構(gòu)造一個(gè)圓周上只含有兩個(gè)有理點(diǎn)的實(shí)例．．容易驗(yàn)證，都在圓周上．

若圓周上還有不同于的有理點(diǎn)，

則，即．

因?yàn)樽蠖藶橛欣頂?shù)，為無理數(shù)，所以，．進(jìn)而．

故．這與不同于的假定矛盾．綜上所述，的最小值為3．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，內(nèi)接于，，直線切于點(diǎn)，弦，與交于點(diǎn).

(1)求證：；

(2)若，，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知0<α<<β<π,cos,sin(α+β)=.

(1)求sin 2β的值;(2)求cos的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，.

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成的線面角的正弦值為，求長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在x軸上，若橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離是3．

求橢圓E的方程；

設(shè)過點(diǎn)A的直線l與該橢圓交于另一點(diǎn)B，當(dāng)弦AB的長度最大時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知偶函數(shù)滿足且，當(dāng)時(shí),，關(guān)于的不等式在上有且只有200個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意成立.

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