Question

13．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a²+b²=c²+ab，c=1．
（1）求角C的大小；
（2）求$\frac{1}{2}$b+a的最大值．

Answer 1

分析 （1）把已知的等式變形后，得到一個(gè)關(guān)系式，然后利用余弦定理表示出cosC，把變形后的關(guān)系式代入即可求出cosC的值，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到C的度數(shù)．
（2）由已知利用正弦定理可得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA，利用三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得$\frac{1}{2}$b+a=$\frac{\sqrt{21}}{3}$sin（A+φ），其中0＜φ＜$\frac{π}{2}$，tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵a²+b²=ab+c²，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
又∵C∈（0°，180°），
∴∠C=60°…5分
（2）∵c=1，由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA，
∴$\frac{1}{2}$b+a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA+2sinA）=$\frac{\sqrt{21}}{3}$sin（A+φ），其中0＜φ＜$\frac{π}{2}$，tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴當(dāng)sin（A+φ）=1時(shí)，$\frac{1}{2}$b+a取最大值$\frac{\sqrt{21}}{3}$…12分

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理，余弦定理三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用以及三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，考查了考查了整體代入的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．