Question

【題目】已知函數(shù)存在唯一極值點(diǎn)。

（I）求的取值范圍；

（II）證明：函數(shù)與的值域相同。

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可得： ， ，

分類討論：當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)有唯一極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，若， 無極值點(diǎn)，若， 有兩個(gè)極值點(diǎn)，不合題意；則；

(Ⅱ)由（Ⅰ）知， ，設(shè)，則在上單減，在上單增， 的值域?yàn)?/span>，則原問題等價(jià)于，即，整理變形為，導(dǎo)函數(shù)單增，則原問題等價(jià)于，據(jù)此命題得證.

試題解析：

（Ⅰ）， ，當(dāng)時(shí)， ，

故在上單調(diào)遞增，又時(shí)， ， ，

故在內(nèi)有唯一實(shí)根，即在內(nèi)有唯一極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由得，故在上單增，在上單減，

若則恒成立，此時(shí)無極值點(diǎn)，若，

又時(shí)， 時(shí)，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

綜上， ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，設(shè)即，

則在上單減，在上單增， 的值域?yàn)?/span>，

要使與的值域相同，只需，即，

即，又，故即，

故只需證，又單增，所以要證即證，

而，故得證.