Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|2x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥x-1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最大值是m，且a，b，c均為正數(shù)，a+b+c=m，求$\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}+\frac{a^2}{c}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉絕對(duì)值得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；
（Ⅱ）求出a+b+c=2，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，求出代數(shù)式的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：
$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\ x-3≥x-1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-1≤x≤1\\ 3x-1≥x-1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x＞1\\-x+3≥x-1\end{array}\right.$，
解得：0≤x≤2，
故不等式的解集為[0，2]；                                  
（Ⅱ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x-3，x＜-1\\ 3x-1，-1≤x≤1\\-x+3，x＞1\end{array}\right.$，
顯然當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有大值，m=f（1）=2，
∴a+b+c=2，
而$（{a+b+c}）（{\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}+\frac{a^2}{c}}）=[{{{（{\sqrt{a}}）}^2}+{{（{\sqrt}）}^2}+{{（{\sqrt{c}}）}^2}}][{{{（{\frac{{\sqrt{a}}}}）}^2}+{{（{\frac{c}{{\sqrt}}}）}^2}+{{（{\frac{a}{{\sqrt{c}}}}）}^2}}]≥{（{a+b+c}）^2}$，
∴$\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}+\frac{a^2}{c}≥a+b+c=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{a}}}{{\frac{{\sqrt{a}}}}}=\frac{{\sqrt}}{{\frac{c}{{\sqrt}}}}=\frac{{\sqrt{c}}}{{\frac{a}{{\sqrt{c}}}}}\\ a+b+c=2\end{array}\right.$，即$a=b=c=\frac{2}{3}$時(shí)取等號(hào)，
故$\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}+\frac{a^2}{c}$的最小值是2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．