分析 依題意,當a>1時,問題等價于ax≥x在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax-x,則f′(x)=axlna-1,可求得x=${log}_{a}\frac{1}{lna}$時函數(shù)f(x)取到最小值,從而可得a的取值范圍;再分析0<a<1時的情形,即可得答案.
解答 解:當a>1,由題意可得y=ax與y=logax互為反函數(shù),
故問題等價于ax≥x(a>0,a≠1)在區(qū)間(0,+∞)上恒成立.
構(gòu)造函數(shù)f(x)=ax-x,則f′(x)=axlna-1,
令f′(x)=0,得x=${log}_{a}\frac{1}{lna}$,且此時函數(shù)f(x)取到最小值,
故有${a}^{{log}_{a}\frac{1}{lna}}$>${log}_{a}\frac{1}{lna}$≥0,解得a≥${e}^{\frac{1}{e}}$;
當0<a<1時,不符合條件,舍去,
故a的取值范圍是:a≥${e}^{\frac{1}{e}}$;
故答案為:$[{e}^{\frac{1}{e}},+∞)$.
點評 本題考查函數(shù)恒成立問題,考查轉(zhuǎn)等價化思想與分類討論思想,利用y=ax與y=logax互為反函數(shù),當a>1時,問題等價于ax≥x在區(qū)間(0,+∞)上恒成立是關(guān)鍵,也是難點,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于難題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | e2 | B. | e | C. | 1 | D. | $\frac{1}{e}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 17 | B. | 19 | C. | 21 | D. | 23 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1個 | B. | 2個 | C. | 3個 | D. | 4個 |
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