Question

【題目】已知四邊形ABCD滿足AD∥BC，BA=AD=DC=BC=a，E是BC的中點(diǎn)，將△BAE沿AE折起到△B1AE的位置，使平面B1AE⊥平面AECD，F(xiàn)為B1D的中點(diǎn)．
（1）證明：B1E∥平面ACF；
（2）求平面ADB1與平面ECB1所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（1）連結(jié)ED交AC于O，連結(jié)OF，
因?yàn)锳ECD為菱形，OE=OD，
所以FO∥B1E，
所以B1E∥平面ACF．
（2）取AE的中點(diǎn)M，連結(jié)B1M，連結(jié)MD，則∠AMD=90°，
分別以ME，MD，MB1為x，y，z軸建系，
則E（，0，0），C（a，a，0），A（﹣，0，0），D（0，a，0），
B1（0，0，a），
則=（﹣，0，a），=（，a，0），=（，0，a），
設(shè)面ECB1的法向量為=（x，y，z），
則，令x=1，則=（1，﹣，），
同理面ADB1的法向量為=（1，﹣，﹣）
所以cos＜，＞==，
故平面ADB1與平面ECB1所成銳二面角的余弦值為

【解析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明：B1E∥平面ACF；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．