Question

19．某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為$\frac{2}{3}$，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為$\frac{2}{5}$，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．
（Ⅰ）若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們得分之和為X，求X≤3的概率；
（Ⅱ）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，分別求兩種方案下小明、小紅得分之和的分布列，并指出他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，得分之和的數(shù)學(xué)期望較大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知小明中獎(jiǎng)的概率為$\frac{2}{3}$，小紅中獎(jiǎng)的概率為$\frac{2}{5}$，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響．記“這2人的得分之和X≤3”的事件為A，則事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三個(gè)兩兩互斥的事件，由此能求出這兩人的得分之和X≤3的概率．
（Ⅱ）設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的分?jǐn)?shù)和為X₁，由已知X₁的所有可能取值為0，2，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X₁的分布列和期望；小明、小紅都選擇方案乙所獲得分?jǐn)?shù)和為X₂，由已知得X₂的所有可能取值為0，3，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X₂的分布列和期望，從而得到他們都選擇方案甲進(jìn)行投資時(shí)，得分之和的數(shù)學(xué)期望較大．

解答 解：（Ⅰ）由已知小明中獎(jiǎng)的概率為$\frac{2}{3}$，小紅中獎(jiǎng)的概率為$\frac{2}{5}$，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響．
記“這2人的得分之和X≤3”的事件為A，則事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三個(gè)兩兩互斥的事件，
P（X=0）=$（1-\frac{2}{3}）（1-\frac{2}{5}）$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{5}）=\frac{2}{5}$，
P（X=3）=（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{5}$=$\frac{2}{15}$，…3分
所以P（A）=P（X=0）+P（X=2）+P（X=3）=$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{15}$=$\frac{11}{15}$，
即這兩人的得分之和X≤3的概率為$\frac{11}{15}$．…4分
（Ⅱ）設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的分?jǐn)?shù)和為X₁，由已知X₁的所有可能取值為0，2，4，
P（X₁=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（X₁=2）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
P（X₁=4）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
∴X₁的分布列如下：

X1	0	2	4
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$

…7分
$E（{X}_{1}）=0×\frac{1}{9}+2×\frac{4}{9}+4×\frac{4}{9}$=$\frac{8}{3}$，…8分
小明、小紅都選擇方案乙所獲得分?jǐn)?shù)和為X₂，由已知得X₂的所有可能取值為0，3，6，
P（X₂=0）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{25}$，
P（X₂=3）=$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{12}{25}$，
P（X₂=6）=$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{25}$，
∴X₂的分布列如下：

X2	0	3	6
P	$\frac{9}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{4}{25}$

E（X₂）=$0×\frac{9}{25}+3×\frac{12}{25}$+6×$\frac{4}{25}$=$\frac{12}{5}$．…12分
∵E（X₁）＞E（X₂），
∴他們都選擇方案甲進(jìn)行投資時(shí)，得分之和的數(shù)學(xué)期望較大．…13分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．