Question

4．設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線mx²+ny²=1（mn＜0）的一條漸近線的一個公共點M的坐標為（${\sqrt{p}$，y₀），若點M到拋物線的焦點距離為4，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$或3
• D． 3

Answer 1

分析 利用拋物線的性質(zhì)計算M到準線的距離，列方程解出p，得出M坐標，分情況討論雙曲線的漸近線得出m，n的關(guān)系，得出離心率．

解答 解：拋物線的準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
∴M（$\sqrt{p}$，y₀）到焦點的距離等于M到準線的距離$\sqrt{p}+\frac{p}{2}$，
∴$\sqrt{p}+\frac{p}{2}$=4，解得p=4．
∴拋物線方程為y²=8x，不妨設(shè)M在第一象限，則M（2，4）．
（1）若m＞0，n＜0，雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{m}}-\frac{{y}^{2}}{-\frac{1}{n}}=1$，
雙曲線經(jīng)過第一象限的漸近線方程為y=$\sqrt{-\frac{m}{n}}$x，
∴$2\sqrt{-\frac{m}{n}}$=4，即m=-4n，
∴e=$\frac{\sqrt{\frac{1}{m}-\frac{1}{n}}}{\sqrt{\frac{1}{m}}}$=$\sqrt{5}$．
（2）若m＜0，n＞0，雙曲線標準方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{n}}-\frac{{x}^{2}}{-\frac{1}{m}}=1$．
雙曲線經(jīng)過第一象限的漸近線方程為y=$\sqrt{-\frac{m}{n}}$x．
∴2$\sqrt{-\frac{m}{n}}$=4，即m=-4n．
∴e=$\frac{\sqrt{\frac{1}{n}-\frac{1}{m}}}{\sqrt{\frac{1}{n}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了拋物線、雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于中檔題．