Question

5．P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是焦點(diǎn)，PF₁與漸近線平行，∠F₁PF₂=90°，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，根據(jù)直線平行的關(guān)系結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系，求出a，c的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
則$tanα=\frac{a}$，∴$sinα=\frac{c}$，$cosα=\frac{a}{c}$，
∴$sinβ=cosα=\frac{a}{c}$，$\frac{{|{P{F_2}}|-|{P{F_1}}|}}{sinα-sinβ}=\frac{{|{{F_1}{F_2}}|}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}$，
∴$\frac{2a}{{\frac{c}-\frac{a}{c}}}=\frac{2c}{1}$，
∴2a=b，c²-a²=4a²，即c²=5a²，c=$\sqrt{5}$a，
∴$e=\sqrt{5}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，根據(jù)直線平行和直角三角形的邊角關(guān)系建立方程是解決本題的關(guān)鍵．考查運(yùn)算能力．