Question

11．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t+\frac{1}{2}\end{array}$（t為參數(shù)），直線(xiàn)l和圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是圓C上不同于A，B的任意一點(diǎn)．
（1）求圓心的極坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與普通方程的互化得到圓的圓心與極坐標(biāo)．
（2）化簡(jiǎn)直線(xiàn)的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式公式求解即可．

解答 解：（1）由ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，得x²+y²=2x，
故圓C的普通方程為x²+y²-2x=0，所以圓心坐標(biāo)為（1，0），圓心的極坐標(biāo)為（1，0）．
（2）直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=t+\frac{1}{2}\end{array}\right.（t$為參數(shù)） 化為普通方程是x-2y+1=0，
即直線(xiàn)l的普通方程為x-2y+1=0，因?yàn)閳A心（1，0）到直線(xiàn)l：x-2y+1=0的距離$d=\frac{{|{1×1+0×（{-2}）+1}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
所以點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最大值$r+d=1+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=\frac{{5+2\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，圓的方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．