Question

13．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與y軸的正半軸相交于點(diǎn)M，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點(diǎn)，且△MF₁F₂是邊長為2的等邊三角形，若直線l：y=kx+2$\sqrt{3}$與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）直線MA，MB的斜率之積是否為定值；若是，請(qǐng)求出該定值．若不是．請(qǐng)說明理由．
（2）求△ABM的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓與y軸的正半軸相交于點(diǎn)M，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點(diǎn)，且△MF₁F₂是邊長為2的等邊三角形，求出橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．M（0，$\sqrt{3}$）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+16$\sqrt{3}kx$+36=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線的斜率公式能求出直線MA，MB的斜率之積為定值．
（2）利用弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式、基本不等式，能求出△ABM的面積的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與y軸的正半軸相交于點(diǎn)M，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點(diǎn)，且△MF₁F₂是邊長為2的等邊三角形，
∴a=2，c=1，∴b²=4-1=3，
∴橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．∴M（0，$\sqrt{3}$）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+16$\sqrt{3}kx$+36=0，
△=$（16\sqrt{3}k）^{2}-4×36（4{k}^{2}+3）$＞0，解得k＞1.5或k＜-1.5，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{16\sqrt{3}k}{4{k}^{2}+3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{36}{4{k}^{2}+3}$，
k_MA•k_MB=$\frac{{y}_{1}-\sqrt{3}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}-\sqrt{3}}{{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}k（{x}_{1}+{x}_{2}）+3}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\frac{36{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-\frac{48{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}+3}{\frac{36}{4{k}^{2}+3}}$
=$\frac{48{k}^{2}-48{k}^{2}+9}{36}$=$\frac{1}{4}$．
∴直線MA，MB的斜率之積為定值$\frac{1}{4}$．
（2）|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（-\frac{16\sqrt{3}k}{4{k}^{2}+3}）^{2}-4×\frac{36}{4{k}^{2}+3}]}$=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$$\sqrt{3（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}-9）}$，
M（0，$\sqrt{3}$）到直線l：y=kx+2$\sqrt{3}$的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴△ABM的面積S_△ABM=$\frac{1}{2}×d×|AB|$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$×$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$$\sqrt{3（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}-9）}$
=$\frac{6\sqrt{4{k}^{2}-9}}{4{k}^{2}+3}$=$\frac{6}{\sqrt{4{k}^{2}-9}+\frac{12}{\sqrt{4{k}^{2}-9}}}$≤$\frac{6}{2\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{4{k}^{2}-9}$=$\frac{12}{\sqrt{4{k}^{2}-9}}$，即k²=$\frac{21}{4}$時(shí)，△ABM的面積取最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩直線的斜率之積是否為定值的判斷與求法，考查三角形的面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、直線的斜率公式、弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式、基本不等式的合理運(yùn)用．