Question

5．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖如圖所示．其中左視圖面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．俯視圖的面積為2．D為AA₁上的點．且A₁D=$\frac{1}{4}$．其中F為線段AB上的點．
（I）若F為AB的中點，證明：B₁D⊥平面A₁CF；
（Ⅱ）若二面角A₁-CF-A的余弦值為$\frac{\sqrt{17}}{17}$．判斷此時點F的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三視圖的面積求出三棱柱的高和底面正三角形的邊長，建立坐標(biāo)性，利用向量法證明線面垂直即可．
（Ⅱ）設(shè)F（a，2，0），求出平面的法向量，利用向量法求出向量夾角的余弦公式，建立方程組求出a的值即可得到結(jié)論．

解答 解：（I）∵視圖面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$
∴設(shè)正三角形ABC的邊長為x，則$\frac{1}{2}$x${\;}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，則x=1，即AB=AC=BC=1，
∵俯視圖的面積為2，
∴A₁A•AB=A₁A×1=2，則A₁A=2，
取A₁B₁的中點O，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA₁，OF，O₁C分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵A₁D=$\frac{1}{4}$．F為AB的中點，
∴A₁（$\frac{1}{2}$，0，0），B₁（-$\frac{1}{2}$，0，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，0），F(xiàn)（0，2，0），
則$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（1，$\frac{1}{4}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（$-\frac{1}{2}$，2，0），
則$\overrightarrow{{B}_{1}D}$•$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（1，$\frac{1}{4}$，0）•（$-\frac{1}{2}$，2，0）=-$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×2$=0，
即$\overrightarrow{{B}_{1}D}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}F}$，則B₁D⊥A₁F；
∵CF⊥平面ABB₁A₁，∴CF⊥B₁D，
∵CF∩A₁F=F，
∴B₁D⊥平面A₁CF；
（Ⅱ）設(shè)F（a，2，0），-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
則平面CFA的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
則C（0，2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-$\frac{1}{2}$，2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{CF}$=（a，0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)平面A₁CF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{ax-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{-\frac{1}{2}x+2y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令x=2，則y=$\frac{1-2a}{2}$，z=$\frac{4a}{\sqrt{3}}$，
則$\overrightarrow{n}$=（2，$\frac{1-2a}{2}$，$\frac{4a}{\sqrt{3}}$），
∵二面角A₁-CF-A的余弦值為$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\frac{1-2a}{2}|}{\sqrt{4+（\frac{1-2a}{2}）^{2}+\frac{16{a}^{2}}{3}}}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
平方得$\frac{\frac{（1-2a）^{2}}{4}}{4+\frac{（1-2a）}{4}+\frac{16{a}^{2}}{3}}$=$\frac{1}{17}$，
整理得$\frac{17（1-2a）^{2}}{4}$=4+$\frac{（1-2a）^{2}}{4}$+$\frac{16{a}^{2}}{3}$，
即$\frac{2{a}^{2}}{3}$=a得a=0或a=$\frac{3}{2}$（舍），
即F（0，2，0），此時F為AB的中點．

點評 本題主要考查線面垂直的判定以及二面角的應(yīng)用，建立坐標(biāo)性，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強．