Question

15．已知0＜a＜b，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+2，則對于任意x₁，x₂且x₁≠x₂，使f（b）≤$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≤f（a）恒成立的函數(shù)g（x）可以是（　�。�

• A． g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+1
• B． g（x）=lnx+2x
• C． g（x）=-$\frac{1}{x}$-2
• D． g（x）=e^x（$\frac{1}{x}$+2）

Answer 1

分析 由于g′（x）=$\underset{lim}{{x}_{1}→{x}_{2}}$$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，故“f（b）≤$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≤fa）恒成立”?“恒有f（b）≤g′（x）≤f（a）”．再依據(jù)函數(shù)f（x）單調(diào)性，即可得到正確結(jié)論．

解答 解：由于對于任意x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，使f（b）≤$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≤f（a）恒成立
則對于任意x∈[a，b]，恒有f（b）≤g′（x）≤f（a）
由于0＜a＜b，函數(shù)f（x）=2+$\frac{1}{x}$在[a，b]上單調(diào)遞減函數(shù)，
則只需使g′（x）=f（x）即可，
故選：B．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的概念，解題關(guān)鍵是在[a，b]上，將“f（b）≤$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$≤f（a）恒成立”轉(zhuǎn)化為“恒有f（b）≤g′（x）≤f（a）”．