Question

9．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y（單位：萬(wàn)元）之間有如表對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（1）求廣告費(fèi)支出x與銷售額y回歸直線方程$\hat y$=bx+a（a，b∈R）；
已知b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$
（2）在已有的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組，求至少有一組數(shù)據(jù)其預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值不超過5的概率．

Answer 1

分析 （1）首先求出x，y的平均數(shù)，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，根據(jù)樣本中心點(diǎn)滿足線性回歸方程，代入已知數(shù)據(jù)求出a的值，寫出線性回歸方程．
（2）分別求出在已有的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組的情況總數(shù)，及至少有一組數(shù)據(jù)其預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值不超過5的情況數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案．

解答 解：（1）由題意得$\overline{x}=\frac{2+4+5+6+8}{5}=5$，$\overline{y}=\frac{30+40+50+60+70}{5}=50$，$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n•\bar x•\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n•{{\bar x}^2}}}=\frac{60+160+300+300+560-5×5×50}{4+16+25+36+64-5×25}=\frac{130}{20}=\frac{13}{2}$，
$a=\bar y-b\overline{x}=25-\frac{13}{2}×5=\frac{35}{2}$，
所求回歸直線方程為$\hat y=\frac{13}{2}x+\frac{35}{2}$；
（2）基本事件：（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），
（40，60），（40，50），（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10個(gè)
兩組數(shù)據(jù)其預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值都超過5：（60，50）
所以至少有一組數(shù)據(jù)其預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值不超過5的概率為${P}=1-\frac{C_2^2}{C_5^2}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查回歸分析的初步應(yīng)用，考查求線性回歸方程，考查預(yù)報(bào)y的值，是一個(gè)綜合題目，解此類題，關(guān)鍵是理解線性回歸分析意義．