13.在△ABC中,已知sinA=2sinBcosC,試?yán)谜、余弦定理與和角公式兩種方法證明△ABC是等腰三角形.

分析 法一:直接利用正弦定理以及余弦定理推出邊的關(guān)系,即可判斷三角形的形狀.
法二:由三角形的知識(shí)和和差角的三角函數(shù)公式可得sin(B-C)=0,可得B=C,可得三角形為等腰三角形.

解答 證明:法一:∵sinA=2sinBcosC,
∴利用正弦定理可得:a=2bcosC,
由余弦定理可得:a=2b$•\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$,
可得:b=c,
∴三角形是等腰三角形.
法二:∵在△ABC中sinA=2sinBcosC,
∴sin[π-(B+C)]=2sinBcosC,
∴sin(B+C)=2sinBcosC,
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,
∴sinBcosC-cosBsinC=0,
∴sin(B-C)=0,
∴B=C,即三角形為等腰三角形.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形形狀的判定,涉及和差角的三角函數(shù)公式,正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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