Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-3|，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≤4的解集；
（2）若不等式f（x）＜2的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1的值代入f（x），通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（2）根據(jù)絕對值的幾何意義求出f（x）的最小值，結(jié)合f（x）＜2的解集為空集，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=|x-1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{4-2x，（x＜1）}\\{2，（1≤x＜3）}\\{2x-4，（x≥3）}\end{array}\right.$，
所以不等式f（x）≤4的解集為$\left\{\begin{array}{l}{x＜4}\\{4-2x≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x＜3}\\{2≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{2x-4≤4}\end{array}\right.$，
即0≤x≤4，
故不等式f（x）≤4的解集為{x|0≤x≤4}．
（2）因?yàn)閒（x）=|x-a|+|x-3|≥|（x-a）-（x-3）|=|3-a|，
因?yàn)椴坏仁絝（x）＜2的解集為空集，
則|3-a|≥2，解之3-a≤-2或3-a≥2，
即a≥5或a≤1，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤1或a≥5}．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的解法，考查絕對值的幾何意義以及分類討論思想，是一道中檔題．