Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，若動點(diǎn)A在橢圓C上，動點(diǎn)B在直線y=$\frac{ab}{c}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$上．（c為橢圓的半焦距）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），試探究點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值；若是定值，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意得：$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$\frac{ab}{c}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，及其a²=b²+c²，解出即可得出．
（Ⅱ）解法一：依題意知直線OA的斜率存在，設(shè)為k，則直線OA的方程為y=kx，
（1）若k≠0，則直線OB的方程為$y=-\frac{1}{k}x$，設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），與橢圓方程聯(lián)立可得${x}_{A}^{2}$，${x}_{B}^{2}$，|OA|=$\sqrt{{x}_{A}^{2}+{y}_{A}^{2}}$，|OB|=$\sqrt{{x}_{B}^{2}+{y}_{B}^{2}}$，設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d，可得d=$\frac{2{S}_{△AOB}}{|AB|}$=$\frac{|OA||OB|}{\sqrt{|OA{|}^{2}+|OB{|}^{2}}}$，即可得出．（2）若k=0，求得A，B的坐標(biāo)即可得出．
解法二：設(shè)A、B的坐標(biāo)A（x₀，y₀）、$B（t，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，由點(diǎn)A在橢圓C上和OA⊥OB分別可得：$\frac{x_0^2}{3}+y_0^2=1$和$t{x_0}+\frac{{\sqrt{6}}}{2}{y_0}=0$，設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d，則有|OA|•|OB|=|AB|•d，化簡整理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依題意得：$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$\frac{ab}{c}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
兩式相乘可得：b=1，
又$\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{2}{3}$，解得a²=3，
∴所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）解法一：依題意知直線OA的斜率存在，設(shè)為k，則直線OA的方程為y=kx，
（1）若k≠0，則直線OB的方程為$y=-\frac{1}{k}x$，
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），則由$\left\{\begin{array}{l}{y_A}=k{x_A}\\ \frac{x_A^2}{3}+y_A^2=1\end{array}\right.⇒x_A^2=\frac{3}{{3{k^2}+1}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y_B}=-\frac{1}{k}{x_B}\\ y_B^{\;}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}\end{array}\right.⇒x_B^2=\frac{{3{k^2}}}{2}$，
∵$|OA|=\sqrt{x_A^2+y_A^2}=\sqrt{1+{k^2}}|{x_A}|=\sqrt{\frac{{3（{k^2}+1）}}{{3{k^2}+1}}}$，
∴$|OB|=\sqrt{x_B^2+y_B^2}=\sqrt{1+{{（-\frac{1}{k}）}^2}}|{x_B}|=\sqrt{\frac{{3（{k^2}+1）}}{2}}$，
設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d，則$d=\frac{{2{S_{△AOB}}}}{|AB|}=\frac{|OA|•|OB|}{{\sqrt{|OA{|^2}+|OB{|^2}}}}=\frac{{\sqrt{\frac{{3（{k^2}+1）}}{{3{k^2}+1}}}•\sqrt{\frac{{3（{k^2}+1）}}{2}}}}{{\sqrt{\frac{{3（{k^2}+1）}}{{3{k^2}+1}}+\frac{{3（{k^2}+1）}}{2}}}}=\frac{{3（{k^2}+1）}}{{3（{k^2}+1）}}=1$．
（2）若k=0，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為$（-\sqrt{3}，0）$或$（\sqrt{3}，0）$，B點(diǎn)的坐標(biāo)為$（0，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，
這時(shí)，$d=\frac{{\sqrt{3}•\frac{{\sqrt{6}}}{2}}}{{\sqrt{3+\frac{6}{4}}}}=1$，
綜上得點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，其值為1，
解法二：設(shè)A、B的坐標(biāo)A（x₀，y₀）、$B（t，\frac{{\sqrt{6}}}{2}）$，
由點(diǎn)A在橢圓C上和OA⊥OB分別可得：$\frac{x_0^2}{3}+y_0^2=1$和$t{x_0}+\frac{{\sqrt{6}}}{2}{y_0}=0$，
設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為d，則有|OA|•|OB|=|AB|•d，
∴|OA|²•|OB|²=|AB|²•d²$⇒\frac{1}{d^2}=\frac{{|AB{|^2}}}{{|OA{|^2}•|OB{|^2}}}=\frac{{|OA{|^2}+|OB{|^2}}}{{|OA{|^2}•|OB{|^2}}}$，
∴$\frac{1}{d^2}=\frac{1}{{|OA{|^2}}}+\frac{1}{{|OB{|^2}}}=\frac{1}{x_0^2+y_0^2}+\frac{1}{{{t^2}+{{（\frac{{\sqrt{6}}}{2}）}^2}}}=\frac{1}{x_0^2+y_0^2}+\frac{1}{{\frac{{{{（\frac{{\sqrt{6}}}{2}）}^2}y_0^2}}{x_0^2}+{{（\frac{{\sqrt{6}}}{2}）}^2}}}=\frac{1}{x_0^2+y_0^2}+\frac{2}{3}•\frac{x_0^2}{x_0^2+y_0^2}$
=$\frac{3+2x_0^2}{3（x_0^2+y_0^2）}=\frac{3+2x_0^2}{{3（x_0^2+1-\frac{x_0^2}{3}）}}=1$，
所以點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，其值為1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．