Question

12．已知sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，α∈（0，π），則sin（α+$\frac{π}{12}$）的值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$
• C． $\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$
• D． $\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 解法一：根據(jù)sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，求得sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，可得cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．再根據(jù)sin（α+$\frac{π}{12}$）=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{6}$]，利用兩角差的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果．
解法二：由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα和cosα的值，再利用兩角和差的三角公式求得cos$\frac{π}{12}$、sin$\frac{π}{12}$的值，從而求得sin（α+$\frac{π}{12}$）的值．

解答 解：解法一：∵sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，
∵α∈（0，π），∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，π），∴cos（α+$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
sin（α+$\frac{π}{12}$）=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（α+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（α+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{6}$ 
=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$，
故選：A．
解法二：∵sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，α∈（0，π），∴1+2sinαcosα=$\frac{2}{9}$，2sinαcosα=-$\frac{7}{9}$，
∴sinα＞0，cosα＜0，由（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{16}{9}$，
可得 sinα-cosα=$\frac{4}{3}$．
解得sinα=$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$，cosα=$\frac{\sqrt{2}-4}{6}$．
∵cos$\frac{π}{12}$=cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$+sin$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
sin$\frac{π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$-cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
則sin（α+$\frac{π}{12}$）=sinαcos$\frac{π}{12}$+cosαsin$\frac{π}{12}$=$\frac{4+\sqrt{2}}{6}$•$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$+$\frac{\sqrt{2}-4}{6}$•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩角和差的三角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于中檔題．