Question

18．設(shè)f（x）=|ax-1|．
（Ⅰ）若f（x）≤2的解集為[-6，2]，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=2時，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）-f（x-1）≤7-3m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論a的符號，求出a的值即可；
（Ⅱ）令h（x）=f（2x+1）-f（x-1），通過討論x的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出h（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）顯然a≠0，…（1分）
當(dāng)a＞0時，解集為$[-\frac{1}{a}，\frac{3}{a}]$，$-\frac{1}{a}=-6，\frac{3}{a}=2$，無解；…（3分）
當(dāng)a＜0時，解集為$[\frac{3}{a}，-\frac{1}{a}]$，
令$-\frac{1}{a}=2，\frac{3}{a}=-6$，$a=-\frac{1}{2}$，
綜上所述，$a=-\frac{1}{2}$．…（5分）
（Ⅱ） 當(dāng)a=2時，
令h（x）=f（2x+1）-f（x-1）
=|4x+1|-|2x-3|
=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-4，x≤-\frac{1}{4}}\\{6x-2，-\frac{1}{4}＜x＜\frac{3}{2}}\\{2x+4，x≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
…（7分）
由此可知，h（x）在$（-∞，-\frac{1}{4}）$單調(diào)減，在$（-\frac{1}{4}，\frac{3}{2}）$單調(diào)增，在$（\frac{3}{2}，+∞）$單調(diào)增，
則當(dāng)$x=-\frac{1}{4}$時，h（x）取到最小值  $-\frac{7}{2}$，…（8分）
由題意知，$-\frac{7}{2}≤7-3m$，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（{-∞，\frac{7}{2}}]$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分段函數(shù)以及分類討論思想，是一道中檔題．