Question

6．關于x的方程asinx+bcosx+c=0在[0，π]上有兩個相異實根α，β，則sin（α+β）=（　　）

• A． $\frac{ab+bc+ac}{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}$
• B． -$\frac{ab+bc+ac}{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}$
• C． $\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}$
• D． -$\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}$

Answer 1

分析 將α、β代入方程后相減，然后根據(jù)和差化積公式求出tan$\frac{α+β}{2}$的值，再由萬能公式可得答案．

解答 解：∵方程asinx+bcosx+c=0在[0，π]內(nèi)有兩個相異的實根α、β，
∴asinα+bcosα+c=0  ①
asinβ+bcosβ+c=0    ②
∴方程①-②得a（sinα-sinβ）+b（cosα-cosβ）=0，
即a×（2sin$\frac{α-β}{2}$cos$\frac{α+β}{2}$）-b（2sin$\frac{α+β}{2}$sin$\frac{α-β}{2}$）=0，
∴2sin$\frac{α-β}{2}$（acos$\frac{α+β}{2}$-bsin$\frac{α+β}{2}$）=0，
∵α≠β，∴sin$\frac{α-β}{2}$≠0，
∴acos$\frac{α+β}{2}$-bsin$\frac{α+β}{2}$=0，則tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{a}$，
∴sin（α+β）=$\frac{2tan\frac{α+β}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}$．
故選：C．

點評 本題主要考查和差化積公式和萬能公式的應用．三角函數(shù)部分公式比較多，要強化記憶，是中檔題．