Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且|PF₁||PF₂|的最大值為6．
（1）求橢圓方程；
（2）過左焦點(diǎn)的直線l交橢圓C與M、N兩點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}sinθ=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}cosθ$$（θ≠\frac{π}{2}）$，求直線l的方程（其中∠MON=θ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=2，設(shè)P（x，y），|PF₁|•|PF₂|=$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，則P為短軸頂點(diǎn)時(shí)，|PF₁|•|PF₂|取最大值，則$\frac{2×^{2}+8}{2}$=6，a²=b²+c²，進(jìn)而得到a，b，即可得到橢圓方程；
（2）橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），則直線l的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義和三角形的面積公式，解方程可得k，由此能求出l的方程．

解答 解：（1）由題意可得c=2，設(shè)P（x，y），則|PF₁|=$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$，|PF₂|=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
∴|PF₁|•|PF₂|=$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$≤$\frac{（x+2）^{2}+{y}^{2}+（x-2）^{2}+{y}^{2}}{2}$=$\frac{2（{x}^{2}+{y}^{2}）+8}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，即x=0，y=b時(shí)取最大值，
∴P為短軸頂點(diǎn)時(shí)，|PF₁|•|PF₂|取最大值，
∴$\frac{2×^{2}+8}{2}$=6，
解得：b²=2，
a²=b²+c²=2+4=6，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），則直線l的方程為y=k（x+2），
代入橢圓方程得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=丨$\overrightarrow{OM}$丨•丨$\overrightarrow{ON}$丨cosθ=$\frac{4\sqrt{6}cosθ}{3sinθ}$，$（θ≠\frac{π}{2}）$，
丨$\overrightarrow{OM}$丨•丨$\overrightarrow{ON}$丨sinθ=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，即S_△OMN=$\frac{1}{2}$•丨$\overrightarrow{OM}$丨•丨$\overrightarrow{ON}$丨sinθ=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$，
原點(diǎn)O到m的距離d=$\frac{丨2k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則S_△OMN=$\frac{1}{2}$•|MN|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$•$\frac{丨2k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴l(xiāng)的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，向量的運(yùn)算，韋達(dá)定理，點(diǎn)到直線的距離公式及三角形的面積公式，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，屬于中檔題．