Question

12．已知p：?x∈R使mx²-mx+1＜0成立，q：方程$\frac{x^2}{m-1}+\frac{y^2}{3-m}=1$的曲線是雙曲線，若命題p∧q為假命題、命題p∨q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 若命題p∧q為假命題、命題p∨q為真命題，則命題p，q一真一假，進而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：若命題p：?x∈R使mx²-mx+1＜0成立，
則$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△={m}^{2}-4m＞0\end{array}\right.$，或m＜0，
解得：m＜0，或m＞4
若命題q：方程$\frac{x^2}{m-1}+\frac{y^2}{3-m}=1$的曲線是雙曲線，
則（m-1）（3-m）＜0，
解得：m＜1，或m＞3，
若命題p∧q為假命題、命題p∨q為真命題，則命題p，q一真一假，
若p真q假，則不存在滿足條件的m值；
若p假q真，則m∈（0，1]∪[3，4），
綜上可得：m∈（0，1]∪[3，4）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，雙曲線的標準方程，特稱命題的否定等知識點，難度中檔．